Bài 17: Hàm Số Liên Tục | Toán tập 1 | Chương V: Giới Hạn Hàm Số Liên Tục - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 119

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ1. Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số

Tính giới hạn và so sánh giá trị này với f (1).

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm . Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại điểm nếu .

Hàm số f (x) không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm = 2.

Giải

Rõ ràng hàm số f (x) xác định trên R \ {1}, do đó

Ta có . Vậy hàm số f (x) liên tục tại = 2.

Trang 120

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu

Giải

Ta thấy ,

Vậy hàm số này gián đoạn tại 0.

Luyện tập 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Hàm số f (x) liên tục tại

HĐ2. Cho hai hàm số   và với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

Hàm số y = f (x)

Hàm số y = g (x)

Hình 5.7

Xét tính liên tục của các hàm số f (x) và g (x) tại điểm

Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. Hàm số y = g (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b]nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và , .

Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b]. [a; +∞).... được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Trang 121

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số   trên nửa khoảng (0; 1].

Giải

Ta có f (x) = x −1 với x = ∈ (0; 1). Với ∈ (0; 1) bất kì, ta có

Vậy hàm số f (x) liên tục trên khoảng (0; 1).

Hơn nữa,  nên f (x) liên tục trên nửa khoảng (0; 1].

Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

• Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên R. • Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm các khoảng trên đó hàm số f (x) liên tục.

Giải

Tập xác định của hàm số f (x) là (-∞; 1) ∪ (1; +∞). Vậy hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (-3; 1) và (1;+∞).

Luyện tập 2. Tìm các khoảng trên đó hàm số .

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

HĐ3. Cho hai hàm số

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.

b) Tính và so sánh L với f (1) + g (1)

Ta có khẳng định sau đây về tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục.

Giả sử hai hàm số y =f (x) và y = g (x) liên tục tại điểm . Khi đó:
a) Các hàm số y =f (x) + g (x), y =f (x) - g (x) và y = f (x)g (x) liên tục tại ;
b) Hàm số liên tục tại

Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số .

Giải

Hàm số xác định trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f (x) liên tục trên R \ {1}

Trang 122

Nhận xét. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8

Hình 5.8

Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.

Giải

Xét hàm số

Vận dụng. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

5.14. Cho f (x) và g (x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f (1) = 2 và . Tính g (1).

5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) ;

b)  

5.16. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên R.

5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.