Bài 16: Giới Hạn Của Hàm Số | Toán tập 1 | Chương V: Giới Hạn Hàm Số Liên Tục - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 111

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

trong đó là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Albert Einstein (1879-1955)

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số .

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số . Rút gọn

c) Với dãy số () bất kì sao cho

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm và hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới nếu với dãy số () bất kì, ∈ (a; b), ≠ Và → , ta có → L, kí hiệu hay f (x) → L khi x → .

Ví dụ 1. Cho hàm số . Chứng tỏ rằng .

Trang 112

Giải

Lấy dãy số () bất kì sao cho ≥ 1 và

Do đó . Vậy .

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:

a) Nếu và

•  với c là hằng số.

•

Ví dụ 2. Cho f (x) = x − 1 và g (x )= . Tính các giới hạn sau:

a)

b) .

Giải

Ta có . Mặt khác, ta thấy

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Ví dụ 3. Tính .

Giải

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x → 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng .

Trang 113

Do đó

Luyện tập 1. Tính .

HĐ2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số .

a) Cho và

b) Tìm giới hạn của các dãy số () và ().

c) Cho các dãy số (

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f (x) khi x → , nếu với dãy số () bất kì thoả mãn < < b và → , ta có f () → L, kí hiệu . • Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f (x) khi x → nếu với dãy số () bất kì thoả mãn a < < và → , ta có f () → L, kí hiệu .

Ví dụ 4. Cho hàm số

Tính và .

Giải

Với dãy số () bất kì sao cho 0 < <1 và

Do đó ..

Tương tự, với dãy số () bất kì mà 1 < < 2,

khi và chỉ khi

Luyện tập 2. Cho hàm số

Tính , và .

Trang 114

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
HĐ3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
2
Cho hàm số f(x)=1+
X-1
xả, có đồ thị như Hình 5.4.
Hình 54
Giả sử (X, ) là dãy số sao cho X, >1, X, → +ạo. Tinh f ( X, ) và tim lim f(x,y).
• Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; +). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi X → + nếu với dãy số (x,) bắt kỉ, X, > a và X, → +c, ta có f(x,)−L, kí hiệulim f(x)=L hay f(x)—L khi x → tạo
X+10
• Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (-; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi X — - nếu với dãy số ( X, ) bắt kĩ, x, < b và X, →→, ta có f ( x, ) — L, kí hiệu lim f(x)= L hay f(x)— L khi x
X
-
SONG
. Sử dụng định nghĩa, tìm lim f(x) và lim f(x).
4
2 Ví dụ 5. Cho f(x)=2+
X-
Giải
x++X
Lấy dãy ( x, ) bất ki sao cho x, >1 và X, → +, ta có f(xn)=2+ Vậy lim f(x)=2. Tương tự, ta cũng có lim f(x)=2.
4
X-1
Do đó lim f(x, )=2.
n++x
X-00
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại
VÔ CỰC.
Với c là hằng số, ta có: làm c = c, làm c=c.
X
X+30
.
Với k là một số nguyên dương, ta có: làm
= 0, lim
0.

Trang 115

2 Ví dụ 6. Tính lim
X-
X
Giai
Ta có làm
Xx
X
lim Xxx
==
lim
Xx
1
lim 1+
1+ lim-1. X--X
- Luyện tập 3. Tinh làm
x+1
√a2b
a 20
a√b =
√a2b
a<0.
У
B
ây Vận dụng. Cho tam giác vuông OAB với A = (a, 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.
a) Tinh h theo a.
b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào?
Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
a) Giới hạn vô cực
- HĐ4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực
Xét hàm số f(x) = - có đồ thị như Hình 5.6.
1
→ Huế,
Cho x, − chứng tỏ rằng f(x,) TRI THỨC X = ,
VỚI
CUỘC SỐNG
h
0
Hình 5,5
Hình 56
Giả sử khoảng (a; b) chứa X, và hàm số y=f(x) xác định trên (a; b)\ {Xo}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn + khi X → X, nếu với dãy số (x, ) bắt kỉ, X = (a, b)\ {xo}. Ăn → Xo ta có f(x, ) → +ạo, kí hiệulim f(x)= +,
x-xo
Е
Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn — khi x → Xp, ki hiệu lim f(x)= )=−, nếu lim [-f(x)]=+
x-xo
x-xo
) Ví dụ 7. Tỉnh lim
1
Giải
Xét hàm số f ( x ) =
Do đó f ( x, ) =
=
X
1
- Lấy dãy số ( x, ) bất kì sao cho x, ≠ 1, X, →1. Khi đó, |x, −1−0.
#
1
1
− +ạo. Vậy lim
=+x.

Trang 116

=
J was. Cho hàm số f(x)=x_i Với các dãy số (x,) và (X,) cho bởi xe tôi tuổi
tính lim f(x,) và lim f(xn).
ロート+00
n-+00
n
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (X - b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +ơn khi X → X, về bên phải nếu với dãy số (x,) bất kì thoả mãn X, < X, < b, X, → X, ta có f (X,) → +, kí hiệu lim f(x)= +,
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; xạ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn + khi x → X, về bên trái nếu với dãy số (x,) bắt kì thoả mãn a < X, < Xại X, → Xp, ta có f(x,) → +, kí hiệu lim f(x)=+0.
X-Xo
)=− và lim f(x)=− được định nghĩa tương tự.
Các giới hạn một bên lim f(x)=
xx5
) Ví dụ 8. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giai
Từ công thức khối lượng
X-X0
mo
m=
ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0;c). Rõ ràng khi v tiễn
gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v —c, ta có
0. Do đó làm m(v) =+, nghĩa là
cùng lớn khi vẫn tốc của với
gần
khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng. ) Luyện tập 4. Tính các giới hạn sau: 2
a) lim
b) lim
1
x+2√2-X
Chú ý. Các giới hạn lim f(x)=+, lim f(x)=+, lim f(x)=− và lim_f(x)=− được
X
X-+x
định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f (x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số
y = f(x), xác định trên khoảng (a; +), có giới hạn là – khi x → + nếu với dãy số (x,) bắt kỉ, X, > a và X, → +ơn, ta có f (x,) → −, kí hiệulim f(x)=— hay f (x) → → khi x →
Một số giới hạn đặc biệt:
X-4+00
•
.
.
lim x* = tạo với k nguyên dương,
*++-X
lim x
=+oo với k là số chắn
lim x* = mạo với k là số lẻ.
Xx

Trang 117

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.
Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.
• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x).
Giả sử lim f(x)=L+0 và lim g(x)=+ (hoặc −x). Khi đó lim f(x)g(x) được tính theo
X-X0
quy tắc cho trong bảng sau:
lim f(x)
x-xo
L>0
X-X0
lim g(x)
X-X0
+00
x-xo
lim f(x)g(x)
X-X0
+00
19
+00
L<0
19
-00
-∞
+00
Quy tắc tìm giới hạn của thương.
f(x) g(x)
lim f(x)
lim g(x)
f(x)
x-xo
x-xo
Dấu của g(x)
lim
L
±00
Tuỳ ý
+
L>0
0
x-xo g(x)
0
+8
-00
-∞
+
L<0
+00
Các quy tắc trên văn đúng cho các trường hợp x → Xá , x → Xo
2) Ví dụ 9. Tỉnh lim
Giai
VỚI CUỘC SỐNG
Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Rõ ràng, giới hạn của tử số lim (x+1)=1.
Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x = 0 và lim xã = 0. Do vậy làm
) Ví dụ 10. Tính lim
Giải
1
Viét
=
1
và lim
1
X-1X(1-x) X-1 X(1-x)
1 1
x(1-x) x 1-x X-1 X
X-0
x->0
x+1
= +00.
x->0 X
, ta có làm – 150. Hơn nữa làm
1
=- do 1 x < 0 khi x >1
x-1 1-X
1
=-x
X-1 X(1-x)
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tịch, ta được làm
1
Lí luận tương tự, ta có làm
=+0. X-1 X(1-x)

Trang 118

 Luyện tập 5. Tinh làm
2x-1
và lim
2x-1
X-2 X-2 X-2 X-2
BÀI TẬP
5.7. Cho hai hàm số f(x) = xm và g(x)=x+1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) f(x) = g(x);
5.8. Tỉnh các giới hạn sau:
X-1
b) lim f(x) = lim g(x).
x-1
x-1
a) lim
(x+2)-4.
-3
b) lim
x->0
X
5.9. Cho hàm số H(t) =
[
0 nếu t<0
(hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc
1 nếu 120
chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t= 0).
Tinh lim H(t) và lim H(t).
5.10. Tỉnh các giới hạn một bên:
a) lim
X-1 X
x2-x+1
b) lim
X-4 4-x
x2 -5x76
5.11. Cho hàm số g(x)= Ix-21
Tìm lim g(x)và làm g(x).
x->2
x-2
"ẾT NỐI TRI THỨC
5.12. Tính các giới hạn sau
a) lim
1-2x
5.13. Cho hàm số f(x)=
KET
*VOL
2
(x-1)(x-2)
Tim lim f(x) và lim f(x).
x-2+
x-2
by lim (x2+x+
X+ V