Bài 14: Phép Chiếu Song Song | Toán tập 1 | Chương IV: Quan Hệ Song Song Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 95

Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra quyết định về một bàn thắng có được ghi hay không. Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đá vượt qua vạch vôi hay chưa?

Một bàn thắng được ghi.

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

HĐ1. Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chắn song tạo thành hình vuông ABCD, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung của và các chấn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song song hay không?

b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Hình 4.56

Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ sang của CD trên sản nhà?

Hình chiếu của hình chữ "A"

Bóng đổ của người bán hàng rong dưới ánh mặt trời trên đường phố Hội An

Chú ý. Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, nếu không nói gì thêm ta chỉ xét các phép chiếu mà phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.

a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'.

b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'.

Giải (H.4.57)

Hình 4.57

a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên AA' // BB' // CC'. VÌ A thuộc mặt phẳng (A'B'C') nên A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'.

b) Trong mặt phẳng (ABB'A') vẽ MM' // AA' với M thuộc A'B' thì MM // CC'. Vì M' thuộc mặt phẳng (A'B'C') nên M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'.

Trang 97

Luyện tập 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hinh chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC và theo phương BG.

Hình 4.58

Vận dụng 1. Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

HĐ2. Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A’C' hay không?

b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?

c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?

Ta có các tính chất sau của phép chiếu song song.

Hình 4.59

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD và gọi A'B'C'D' là hình chiếu của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương d (H.4.60). Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.

Hình 4.60

Giải

Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'. Tương tự A'D' song song với B'C'.

Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' và A'D' // B'C' nên nó là hình bình hành.

Trang 98

Luyện tập 2. Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Hình 4.61

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến M thành M'. Chứng minh rằng A'M' là đường trung tuyến của tam giác A'B'C' (H.4.62).

Hình 4.62

Giải

Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó và . Do vậy B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là M' là trung điểm của B'C'. Vậy A'M' là đường trung tuyến của tam giác A'B'C'.

Luyện tập 3. Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A'B'C'.

3. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

HĐ3. Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?

Hình 4.63

Từ đầu chương, ta thường minh hoạ các hình tứ diện, hình lập phương, hình lăng trụ,..... bằng các hình vẽ trên giấy. Các hình vẽ này đều tuân theo một nguyên tắc nhất định và chúng được gọi là hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng.

Trang 99

Hình chiếu đứng

Hình chiếu cạnh

Hình chiếu bằng

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau:

- Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác

- Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành;

- Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A'B'C'D' với A'B' // C'D' thoả mãn ;

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Hình chiếu bằng, hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh của một vật thể (môn Công nghệ 8 và Công nghệ 10) chÍnh là hình biểu diễn của vật thể đó.

Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2CD.

Giải

Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có các mặt bên là hình bình hành nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình bình hành. Hình thang ABCD có hai đáy AB, CD và AB = 2CD nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ dài một đáy gấp hai lần độ dài của đáy còn lại của lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' như Hình 4.64.

Hình 4.64

Luyện tập 4. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình binh hành.

Vận dụng 2. Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T, ...

Trang 100

BÀI TẬP

4.29. Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

4.30. Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

4.31. Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

4.32. Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

Hình 4.65

4.33. Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đây là ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2 cm, CD = 6 cm.

4.34. Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.

Trang 101

Em có biết?

Phép chiếu song song được sử dụng chủ yếu trong các bản vẽ kĩ thuật vì phép chiếu này thể hiện đúng tỉ lệ kích thước trên vật thể. Tuy nhiên, phép chiếu song song không thể hiện đúng những gì mà mắt người quan sát được, ví dụ như phép chiếu song song không thể hiện đúng luật xa gần: đối với các vật thể có cùng kích thước, vật thể ở gần phải lớn hơn, vật thể ở xa phải nhỏ hơn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phép chiếu song song không thể hiện đúng độ cao, độ sâu của đối tượng trong thực tế và tạo ra ảo giác cho người xem. Bằng cách khai thác những ảo giác này, Maurits Comelis Escher và Roger Penrose đã đưa ra những hình ảnh về các "vật thể bất khả thi” (impossible objects) – các vật thể không tồn tại trong thực tế. “Thác nước Escher" và "Cầu thang Penrose" là hai ví dụ về các vật thể như vậy.

Thác nước Escher

Cầu thang Ponrose

Để khắc phục những hạn chế của phép chiếu song song, người ta sử dụng phép chiếu xuyên tâm (hay phép chiếu phối cảnh) mà ở đó luật xa gần được đảm bảo. Phép chiếu xuyên tâm với tâm C lên mặt phẳng chiếu (P) (không đi qua C) cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' là giao điểm của CM và (P). Phép chiếu xuyên tâm biến đường thẳng thành đường thẳng.

Khi nhìn hai đường ray xe lửa ta có cảm giác chúng "cắt nhau ở xa vô tận"

Nếu (Q) là một mặt phẳng cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến d thì phép chiếu xuyên tâm biến các đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng (Q) và không song song với d thành các đường thẳng đồng quy. Khi đó, điểm đồng quy nằm trên giao tuyến v của (P) và mặt phẳng qua C song song với (Q). Giao tuyến này còn được gọi là "đường thẳng vô tận" hay "đường chân trời" trong hội hoạ. Tinh chất này của phép chiếu xuyên tâm giải thích tại sao khi vẽ phối cảnh, các đường thẳng song song trong thực tế và hướng về phía người vẽ lại có xu hướng cắt nhau tại một điểm ở “xa vô tận".